Irun poenya

Q6

Posted on: Juni 19, 2009

HIMPUNAN

Pengertian

Sebenarnya pengetian himpunan tidak hanya digunakan dalam matematika,tetapi juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pengertian himpunan dalam kehidupan sehari-hari dapat kita jumpai dalam himpunan mahasiswa, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, dan lain-lain.

Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan dari benda-benda (objek) yang terdefinisi dengan jelas (menggunakan aturan tertentu) sehingga dapat dibedakan apakah benda tersebut termasuk dalam kumpulan tersebut atau tidak.

Objek-objek dalam pembicaraan matematika bisa berupa benda-benda nyata, misalnya: mahasiswa, bola, dan lain-lain, dan juga bisa berupa benda-benda abstrak, misalnya: fungsi, matriks, bilangan.

Contoh: ‘Himpunan wanita cantik”. Himpunan tersebut tidak didefinikan dengan jelas, karena pengertian wanita cantik berbeda untuk setiap orang. Lain halnya dengan “himpunan wanita berbaju merah”, himpunan ini sudah didefinisikan dengan jelas. Jadi, “himpunan wanita cantik” bukan merupakan suatu himpunan, sedangkan “himpunan wanita berbaju merah” merupakan suatu himpunan.

Objek dalam suatu himpunan disebut anggota himpunan. Himpunan biasanya dinotasikan  dengan huruf  kapital seperti A, B, dan lain-lain. Sedangkan anggota himpunan dinotasikan dengan huruf  kecil seperti a, b dan lain-lain.

Lambang keanggotaan himpunan adalah  dan lambang bukan anggota himpunan adalah . Misalnya :

a  A dibaca a anggota A

a  A dibaca bukan anggota A

Jika himpunan A mempunyai anggota maka kita katakan bahwa A adalah himpunan tak hampa, sebaliknya jika A tidak mempunyai anggota maka kita katakan A adalah himpunan hampa. Banyaknya anggota dalam suatu himpunan boleh berhingga ataupun tidak hingga.

Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu:

  • Dengan mendaftarkan semua anggotanya`

Yakni dengan menuliskan semua anggotanya. Anggota-anggota yang tidak ada dalam daftar berarti bukan merupakan himpunan tersebut. Cara ini mudah kita lakukan apabila jumlah anggotanya sedikit. Apabila anggota himpunan tersebut banyak, maka kita dapat menuliskan semua anggotanya diwakili oleh tiga titik.

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4 }

B = { 1, 2, 3, …}

  • Dengan menyatakan karakteristik atau sifat-sifat yang dipenuhi oleh anggota himpunan

Contoh:

B adalah himpunan mahasiswa  FMIPA matematika.

  • Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan

Yaitu dengan memberikan aturan atau syarat yang dapat membedakan suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.

Contoh:

C = { x/x anggota bilangan asli dan x lebih dari atau

Sama dengan 5 }

Membentuk Himpunan


Definisi : Himpunan X disebut subset dari himpunan Y jika untuk setiap x anggota X berlaku x anggota Y.

Contoh:

X = { 1, 2, 3 }

Y = { 1, 2, 3,4 }

Maka X subset dari Y

Definisi : Dua  himpunan X dan Y dikatakan sama jika X subset dari Y dan Y subset dari X. atau dapat pula dikatakan bahwa himpunan X dan Y dikatakan sama jika himpunan X dan Y saling subset.

Contoh :

Misal: X = { 1, 2, 3. }

Y = { 1, 2, 3 }

Maka X  sama dengan Y ( X=Y ).

Dalam pembahasan himpunan, himpunan semesta sangat penting yakni untuk membatasi ruang lingkup pembicaraan.  Himpunan semesta dinyatakan dengan huruf  S atau lambang lain dengan penjelasan sebelumnya. himpunan semesta selalu kita pilih tidak hampa.

Contoh : C = {x|x siswi kelas IA}.  Kita dapat tetapkan himpunan semestanya adalah S = { siswa kelas IA}.

Misalkan X suatu himpunan semesta dan P suatu sifat yang dipenuhi atau tidak dipenuhi oleh unsur x anggota X, kita tuliskan relasi dengan a yaitu x ~ a. jadi k (a) = {x| x anggota A, x ~ a}.  subhimpunan/ subset k(a) disebut kelas ekivalen.  Misalkan T merupakan himpunan semua kelas ekivalen di A yang diciptakan oleh relasi ekivalen yaitu :

T = { k(a) | a anggota A}

Untuk kelas ekivalen di T kita punyai sifat berikut :

  1. untuk setiap k(a) dan k(b) di T berlaku  k(a) ∩ k(b) = himpunan kosong
  2. gabungan himpunan semua kelas ekivalen di a = A

Relasi R pada A dikatakan relasi ekivalen jika

  1. Bersifat reflektif, jika setiap a anggota A berlaku (a,a) anggota R
  2. bersifat simetri , jika setiap a,b anggota A , (a,b) anggota R maka (b,a ) anggota R
  3. bersifat transitif , jika setiap a,b,c anggota A,  (a,b) anggota R dan (b,c) anggota R maka (a,c) anggota R

contoh :

untuk setiap bilangan bulat x dan y didefinisikan bahwa unsur x dan y mempunyai relasi, ditandai dengan x ~ y,  jika selisih x-y bilangan genap. tunjukan bahwarelasi tersebut  suatu relasi ekivalen.

Jawab :

Diketahuit : x, y anggota bilangan bulat

x ~ y jika x-y adalah bilangan genap

akan dibuktikan: relasi ekivalen

bukti :

  • Refleksif :

Misal : bilangan genap = 2n

Ambil x anggota bilangan bulat sebarang

Sehingga : x-x = 0

=2.0

=2n , 2n anggota bilangan bulat

  • Simetri

Misal : bilangan genap = 2n

Ambil x,y anggota bilangan bulat sebarang.

Missal x-y = 2n

y-x = – (x-y)

= -(2n)

=-2n

=2(-n), anggota bilangan bulat

  • Transitif

Misal : bilangan genap = 2n

ambil x,y,p anggota bilangan bulat sebarang

Misal:

x-y = 2l

y-p = 2k

sehingga :          (x-y) + (y-p) = 2l +2k

(x-p) = 2k + 2l

(x-p) = 2(k+l),  k,l anggota bilangan bulat

Misalkan (k+l) = n

Maka (x-p) = 2n

Karena ketiga sifat tersebut terpenuhi maka relasi tersebut termasuk relasi ekivalen

Daftar Pustaka

Arifin,achmad.2000.Aljabar.Bandung:ITB Bandung.

Bahri,syamsul.2006.Logika dan Himpunan.Mataram:UNRAM.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

pengunjung

  • 118,191 hits

category

me and friends

Juni 2009
S S R K J S M
    Mar »
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930  
%d blogger menyukai ini: